考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用．已知函数f(x)＝ln(ax+1)+1−x1+x，x≥0，其中a＞0．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Question

考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用．
已知函数f(x)＝ln(ax+1)+(1−x)/(1+x)，x≥0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝(a)/(ax+1)−(2)/((1+x)2)＝(ax2+a−2)/((ax+1)(1+x)2)．
因f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=0，解得a=1 （经检验）．…（4分）
（2）f′(x)＝(ax2+a−2)/((ax+1)(1+x)2)，因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
当a≥2时，在区间（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）递增，f（x）的最小值为f（0）=1．
当0＜a＜2时，由f'（x）＞0，解得x＞√((2−a)/(a))；由f'（x）＜0，解得x＜√((2−a)/(a))．
∴f（x）的单调减区间为(0，√((2−a)/(a)))，单调增区间为(√((2−a)/(a))，+∞)．
于是，f（x）在x＝√((2−a)/(a))处取得最小值f(√((2−a)/(a)))＜f(0)＝1，不合．
综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．…（10分）
注：不检验不扣分．