（2011•上海模拟）已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．（1）设m=0．求证：函数f（x）递增；（2）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m2，求正实数m的取值范围；（3）设-2＜m＜0．记f

Question

（2011•上海模拟）已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．
（1）设m=0．求证：函数f（x）递增；
（2）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m²，求正实数m的取值范围；
（3）设-2＜m＜0．记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f_k（f（x）），k∈N^*．设n是正整数，求关于x的方程f_n（x）=0的解的个数．

Answer 1

（1）由题意，f（x）=x|x|=

x2

−x2

，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
当0≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²＜0；
当x₁＜x₂≤0时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+x₂²=|x₂|²-|x₁²|＜0
当x₁＜0＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²-x₂²＜0
综上所述，f（x）在的上为单调增函数．
（2）在区间（0，+∞）上，函数f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，
令g（x）=x（x-2m），它在（0，m）上递减，在上（m，+∞）递增
而在[0，+∞）上，f（x）=

g(x)    x≥2m

−g(x)  0≤x＜2m

根据二次函数g（x）的性质可知，f（x）在（0，m）上递增，在（m，2m）上递减，在（2m，+∞）上递增
当1∈（0，m]时，即当m≥1时，[f（x）]max=f（1）=2m-1，解得2m-1=m²，故此时m=1
当1∈（m，2m]时，即(1)/(2)≤m＜1时，此时，[f（x）]max=f（m）=m²，此时的m均满足题意．
当1∈（2m，+∞）时，即0＜m＜(1)/(2)时，[f（x）]max为f（1）与f（m）中较大者，
而故f（m）=m²，f（1）=1-2m，故[f（x）]max=m²当且仅当m²≥1-2m
解这个不等式，得m≤−1−√(2)或m≥−1+√(2)
最后将这个范围与0＜m＜(1)/(2)进行交集运算，得m∈[

作业帮用户 2017-11-01 举报

问题解析

（1）m=0时，f（x）=x|x|=

x2

−x2

，接下来可以用函数单调性的定义进行证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，分别在x₁，x₂都大于零或都小于零、或其中一个大于零另一个小零情况下得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数为R上的增函数；
（2）先在（0，+∞）上将原函数变形，变为f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，再令g（x）=x（x-2m），通过讨论二次函数g（x）的性质可知，得到它的单调性：f（x）在（0，m）上递增，在（m，2m）上递减，在（2m，+∞）上递增．再讨论自变量1究竟落在哪一个区间内，结合比较f（1）、f（m）的大小，再解相关的不等式，最后综合可得实数m的取值范围是[√(2)-1，1]．
（3）当n∈N^*时，方方程f_n（x）=0有且仅有n+1个解，其中一个解为0，另n个解均在区间（-∞，2m]中，因此所求解的个数为n+1．用数学归纳法进行证明：首先验证n=1时，方程f₁（x）=f（x）=0有且仅有两解2m与0，然后再假设当n=k，k∈N^*时，命题成立，通过一元二次方程根的讨论，结合两个实数比较大小，可以证出当n=k+1，k∈N^*时，命题也成立成立，就证出了上述命题．

名师点评

本题考点：

根的存在性及根的个数判断．

考点点评：

本题以含有绝对值的函数为例，考查了二次函数的单调性和函数的零点等知识点，属于难题．解题时应该注意分类讨论和转化化归等常用数学思想的运用．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议