已知m∈R，设函数f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1．（Ⅰ）若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

Question

已知m∈R，设函数f（x）=x³-3（m+1）x²+12mx+1．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
（Ⅱ） 若存在x₀∈（0，3），使得f（x₀）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 由题意知
f′（x）=3x²-6（m+1）x+12m=3（x-2）（x-2m）．
由于f（x）在[0，3]上无极值点，故2m=2，所以m=1．                     
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（x-2m），故
（i） 当2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥(3)/(2)时，
取x₀=2即满足题意．
此时m≤0或m≥(3)/(2)．
（ii） 当0<2m<2，即0<m<1时，列表如下：

x	0	（0，2m）	2m	（2m，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（2）≤f（0）或　f（2m）≥f（3），
即-4+12m+1≤1或-4m³+12m²+1≥9m+1，
从而3m≤1或-m（2m-3）²≥0，
所以m≤(1)/(3)或m≤0或m=(3)/(2)．
此时0<m≤(1)/(3)．
（iii） 当2<2m<3，即1<m<(3)/(2)时，列表如下：

x	0	（0，2）	2	（2，2m）	2m	（2m，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（2m）≤f（0）或  f（2）≥f（3），
即-4m³+12m²+1≤1或-4+12m+1≥9m+1，
从而-4m² （m-3）≤0　或　3m≥4，
所以m=0或m≥3或　m≥(4)/(3)．
此时(4)/(3)≤m<(3)/(2)．
综上所述，实数m的取值范围是
m≤(1)/(3)或m≥(4)/(3)．