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已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(x∈R).(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[0,2]的最小值.
题目详情
已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(x∈R).
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[0,2]的最小值.
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[0,2]的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax,
因为f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=0,解得a=-1.(2分)
(Ⅱ)f'(x)=6x(x+a),
①当-a=0时,f'(x)=6x2≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
②当-a<0,即a>0时,由f'(x)=6x(x+a)>0
得x<-a或x>0,所以f(x)的单调增区间为(-∞,-a)和(0,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0得-a<x<0,
所以f(x)的单调减区间为(-a,0);
③当-a>0即a<0时,
由f'(x)=6x(x+a)>0得x>-a或x<0,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(-a,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0,得0<x<-a,
所以f(x)的单调减区间为(0,-a).
综上所述,当a=0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a)和(0,+∞),f(x)的单调减区间为(-a,0);当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(-a,+∞),f(x)的单调减区间为(0,-a).(8分)
(Ⅲ)①当-a≤0即a≥0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(0)=1;
②当0<-a<2,即-2<a<0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,-a)上单调递减,在(-a,2]
上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;
③当-a≥2即a≤-2时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值为f(2)=17+12a.
综上所述,当a≥0时,f(x)的最小值为f(0)=1;-2<a<0时,f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;a≤-2时,f(x)的最小值为f(2)=17+12a.(14分)
因为f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=0,解得a=-1.(2分)
(Ⅱ)f'(x)=6x(x+a),
①当-a=0时,f'(x)=6x2≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
②当-a<0,即a>0时,由f'(x)=6x(x+a)>0
得x<-a或x>0,所以f(x)的单调增区间为(-∞,-a)和(0,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0得-a<x<0,
所以f(x)的单调减区间为(-a,0);
③当-a>0即a<0时,
由f'(x)=6x(x+a)>0得x>-a或x<0,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(-a,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0,得0<x<-a,
所以f(x)的单调减区间为(0,-a).
综上所述,当a=0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a)和(0,+∞),f(x)的单调减区间为(-a,0);当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(-a,+∞),f(x)的单调减区间为(0,-a).(8分)
(Ⅲ)①当-a≤0即a≥0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(0)=1;
②当0<-a<2,即-2<a<0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,-a)上单调递减,在(-a,2]
上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;
③当-a≥2即a≤-2时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值为f(2)=17+12a.
综上所述,当a≥0时,f(x)的最小值为f(0)=1;-2<a<0时,f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;a≤-2时,f(x)的最小值为f(2)=17+12a.(14分)
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