（2013•河西区一模）如图1，抛物线y=x2+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．（1）求点A的坐标；（2）当b=0时（如图2），求△ABE与△ACE的面积．（

Question

（2013•河西区一模）如图1，抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图2），求△ABE与△ACE的面积．
（3）当b＞-4时，△ABE与△ACE的面积大小关系如何？为什么？
（4）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）将x=0，代入抛物线的解析式得：y=-4，
得点A的坐标为（0，-4），
答：点A的坐标为（0，-4）．

（2）当b=0时，直线为y=x，
由

y＝x

y＝x2+x−4

，
解得

x1＝2

y1＝2

，

x2＝−2

y2＝−2

，
∴B、C的坐标分别为B（-2，-2），C（2，2），
S△ABE＝(1)/(2)×4×2＝4，S△ACE＝(1)/(2)×4×2＝4，
答：△ABE的面积是4，△ACE的面积是4．

（3）当b＞-4时，S_△ABE=S_△ACE，
理由是：由

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

（1）将x=0，代入抛物线的解析式即可；
（2）当b=0时，直线为y=x，解由y=x和y=x²+x-4组成的方程组即可求出B、C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出面积；
（3）当b＞-4时，△ABE与△ACE的面积相等，理由是解由直线和抛物线组成的方程组，即可求出交点的坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，根据点的坐标得到△ABE和△ACE是同底的两个三角形，即可得出答案；
（4）存在这样的b，根据全等三角形的判定证△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根据直角三角形的性质，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，代入即可求出b的值．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．

考点点评：

本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．

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