已知函数f（x）=xlnx+et-a，若对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，则a的取值范围是（）A.[e-1e，e)B.[1，e+1）C.[e，e+1）D.(e-1e，e+1)

Question

已知函数f（x）=xlnx+e^t-a，若对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，则a的取值范围是（　　）

A. [e-

(1)/(e)，e)

B. [1，e+1）

C. [e，e+1）

D. (e-

(1)/(e)，e+1)

Answer 1

函数f（x）=xlnx+e^t-a，可得f′（x）=lnx+1，
所以由f′（x）=0⇔lnx+1=0⇔x=(1)/(e)，x>(1)/(e)，
f′（x）>0，所以f（x）在（0，e^-1）上单调递减，
在（e^-1，e）上单调递增．函数f（x）=xlnx+e^t-a，
在坐标系中画出y=xlnx与y=a-e^t的图象，如图：
对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，
可得：0≤a-e^t<e，
可得e^t≤a<e^t+e，可得e≤a<1+e，
即a∈[e，e+1）．
故选：C．