已知抛物线Y=aX2+bx+c经过点A(0,3)B(1,0) C(5,0)三点 1.求抛物线解析式及对称轴2.若M是OA的中点,在X轴上取点E,抛物线的对称轴上取点F,求使四边形AMEF周长最小的点E,F,并求出此时四边形AMFE的周长3,.在

Question

已知抛物线Y=aX2+bx+c经过点A(0,3)B(1,0) C(5,0)三点 1.求抛物线解析式及对称轴
2.若M是OA的中点,在X轴上取点E,抛物线的对称轴上取点F,求使四边形AMEF周长最小的点E,F,并求出此时四边形AMFE的周长
3,.在1的抛物线上是否存在点N,使得它与2中求得的点E所在直线EN恰好把三角形AEC分成面积相等的两部分?若存在,请你在图2中求出N的坐标 若不存在 请说明理由

Answer 1

1、由B、C坐标可设解析式为：Y=a(X--1)(X--5)=aX²+bX+c 展开比较系数并由A点坐标得c=3代人得：a=3／5,b=--18／5 所以解析式为：Y=3／5X²－18／5X＋3,对称轴X＝（1＋5）／2＝3 2、过A点作对称轴X=3的对称点A′（在抛物线上）,过M点作X轴的对称点M′,连接A′M′,交X轴、对称轴的交点分别为E、F点则四边形AMEF的周长最小,这时的周长可求：A′的坐标为（6,3）M′点坐标为（0,－3／2）所以A′M′直线方程可求：y=3／4x--3／2所以E（2,0）,F（3,3／4） 所以周长=AM+ME+EF+FA=AM+M′E+EF+FA′=AM+M′A′=3／2+√[（6+3／2）²+3²]=3／2+（√261）／2 3、一定存在：作AC中点D,作直线DE必交抛物线于点N,D点坐标由中点公式可求：D（5／2,3／2） E点坐标（2,0）求得DE直线方程：y=3x--6,由直线方程和抛物线方程组成方程组可求交点坐标