已知函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1,3),且f(-1+x)=(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与f(X)的图像关于原点对称.f(-1+x)=f(-1-X),f(1)=3（1）求f(x)与g(x)的解析式（2）若f(X)=g(x)-mf(x)在[-1,1]上是增函数,求实数m

Question

已知函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1,3),且f(-1+x)=(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与f(X)的图像关于原点对称.f(-1+x)=f(-1-X),f(1)=3
（1）求f(x)与g(x)的解析式
（2）若f(X)=g(x)-mf(x)在[-1,1]上是增函数,求实数m的取值范围

Answer 1

（1）、
因为
f(x-1) = f(-1-x),把这个等式代到f(x)中可以很容易求出
m = 2.
又函数f(x)过（1,3）,所以代进f(x)中得：
m + n = 2,
从而
n = 0
故
f(x) = x^2 + 2x.
又g(x)关于f(x)原点对称,所以,根据奇函数的定义：
g(x) = -f(-x) = - x^2 + 2x.
(2)、
F(x) = g(x) - mf(x) = -(m + 1)x^2 - 2(m - 1)x.
F(x)的对称轴是：
x = (1 - m)/(1 + m).
为了让F(x)在〔－1,1〕上为增函数,根据二次函数的定义,必须讨论开口方向来确定,所以有三种情况:
a、m = -1 ,F(x)在[-1,1]为增函数,所以m = -1成立.
b、开口向上,对称轴小于-1,即：
-（m + 1)>0 and (1 - m)/(1 + m)