已知二次函数f(x)满足:(1)f(-1)=0,(2)对一切x的值有x≤f(x)≤(1+x^2)/2成立（1）试求f(x)的表达式.（2）当x∈-1,1时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调的,求m的取值范围.

Question

已知二次函数f(x)满足:(1)f(-1)=0,(2)对一切x的值有x≤f(x)≤(1+x^2)/2成立
（1）试求f(x)的表达式.（2）当x∈【-1,1】时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调的,求m的取值范围.

Answer 1

(1)在 x≤f(x)≤(1+x^2)/2 中 ,令x=1,得1≤f(1)≤1,所以f(1)=1
设 f(x)=ax²+bx+c ,则
f(-1)=a-b+c=0
f(1)=a+b+c=1
解得,b=1/2,a+c=1/2
又对一切x的值有x≤f(x),
即 ax²-(1/2)•x+c ≥0 恒成立
所以 a>0且⊿=1/4 - 4ac≤0
即 ac≥1/16 (当然也有c>0)
另一方面,ac≤[(a+c)/2]²=1/16
从而 当a=c=1/4时,有ac=1/16
所以 f(x)=(1/4)•x²+(1/2)•x+1/4
(2)g(x)=f(x)-mx=(1/4)•x²+(1/2 -m)•x+1/4
对称轴为x=2m-1
由于g(x)在[-1,1]是的单调的,所以区间在对称轴的一侧,
即 2m-1≤-1或 2m-1≥1
解得 m≤0或 m≥1