已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点（1,3）,且f(-1+x)=f(-1-x)对任何实数x都成立.（1）求f(x)的解析式（2）若F（x）=λx2+8x-f(x)在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围

Question

已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点（1,3）,且f(-1+x)=f(-1-x)对任何实数x都成立.
（1）求f(x)的解析式
（2）若F（x）=λx2+8x-f(x)在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围

Answer 1

f(－1＋x)=f(－1－x),则函数f(x)的对称轴是x=－1,又：f(x)过点(1,3),则：
(1)f(x)=x²＋mx＋n的对称轴是x=－m/2=－1,得：m=2；此时f(x)=x²＋2x＋n,以x=1、y=3代入,得：n=0,则：f(x)=x²＋2x
(2)F(x)=λx²＋8x－f(x)
=λx²＋8x－x²－2x
=(λ－1)x²＋6x
若λ=1,此时F(x)=6x,在区间[－1,1]上递增,满足；
若λ>1,则F(x)是开口向上的抛物线,则只要对称轴：x=－3/(λ－1)≤－1即可,得：1