已知函数f（x）=e-x（lnx-2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g(x)=1-x(lnx+1)ex，对任意x>0，证

Question

已知函数f（x）=e^-x（lnx-2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g(x)=(1-x(lnx+1))/(ex)，对任意x>0，证明：（x+1）g（x）<e^x+e^x-2．

Answer 1

（1）因为f′(x)=((1)/(x)-lnx+2k)/(ex)，
由已知得f′(1)=(1+2k)/(e)=0，∴k=-(1)/(2)．
所以f′(x)=((1)/(x)-lnx-1)/(ex)，…（2分）
设k(x)=(1)/(x)-lnx-1，则k′(x)=-(1)/(x2)-(1)/(x)<0，
在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，
由k（1）=0知，当0<x<1时k（x）>0，
从而f'（x）>0，当x>1时k（x）<0，从而f'（x）<0．
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（5分）
（2）因为x>0，要证原式成立即证(g(x))/(ex)<(1+e-2)/(x+1)成立，
现证明：对任意x>0，g（x）<1+e^-2恒成立，
当x≥1时，由（1）知g（x）≤0<1+e^-2成立；
当0<x<1时，e^x>1，且由（1）知g（x）>0，
∴g(x)=(1-xlnx-x)/(ex)<1-xlnx-x．
设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F'（x）=-（lnx+2），
当x∈（0，e^-2）时，F′（x）>0，
当x∈（e^-2，1）时，F′（x）<0，
所以当x=e^-2时，F（x）取得最大值F（e^-2）=1+e^-2．　
所以g（x）<F（x）≤1+e^-2，即0<x<1时，g（x）<1+e^-2．
综上所述，对任意x>0，g（x）<1+e^-2．①…（9分）
令G（x）=e^x-x-1（x>0），则G'（x）=e^x-1>0恒成立，
所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）>G（0）=0恒成立，
即e^x>x+1>0，即0<(1)/(ex)<(1)/(x+1)．　　　②
当x≥1时，有：(g(x))/(ex)≤0<(1+e-2)/(x+1)；
当0<x<1时，由①②式，(g(x))/(ex)<(1+e-2)/(x+1)，
综上所述，x>0时，(g(x))/(ex)<(1+e-2)/(x+1)成立，
故原不等式成立…（12分）