高数题函数已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x),且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))的切线方程?f(1+sinx)-f(1-3sinx)=8x+a(x)已知f(x)是周期为5的连续函数

Question

高数题 函数
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x),且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))的切线方程?
f(1+sinx)-f(1-3sinx)=8x+a(x)
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6,f(6))的切线方程？

Answer 1

f(x)连续,对等式两边取x→0的极限得f(1)-3f(1)=0,故f(1)=0,
以下极限都是x→0
lim【f(1+sinx)-3f(1-sinx)】/sinx
=lim 【f(1+sinx)-f(1)+3f(1)-3f(1-sinx)】/sinx
=lim 【f(1+sinx)-f(1)】/sinx + 3 lim【f(1-sinx)-f(1)】/(-sinx)
=f'(1)+3f'(1)=4f'(1)
又lim【f(1+sinx)-3f(1-sinx)】/sinx=lim【8x+o(x)】/sinx=8（这里是重要极限lim sinx/x=1,再不懂就用洛必达法则,再不懂就百度什么是洛必达法则）
故有4f'(1)=8,f'(1)=2
因为是周期函数,所以f‘(6)=f'(1)=2 f(6)=f(1)=0
所以切线方程y=2(x-6)