设f（x）在（-1，1）内具有二阶连续导数且f″（x）≠0，试证：（1）对于（-1，1）内的任一x≠0，存在惟一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）成立；（2）limx→0θ(x)＝12．

Question

设f（x）在（-1，1）内具有二阶连续导数且f″（x）≠0，试证：
（1）对于（-1，1）内的任一x≠0，存在惟一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）成立；
（2）

lim

x→0

θ(x)＝(1)/(2)．

Answer 1

证：（1）由拉格朗日中值定理，∀x∈（-1，1）且x≠0，∃θ∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）（θ与x有关）；
又由f''（x）连续而f''（x）≠0，
∴f″（x）在（1，-1）不变号，
∴f′（x）在（1，-1）严格单调的，
∴满足f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）的θ唯一．
（2）由题意，根据泰勒公式有：
f(x)＝f(0)+xf′(0)+(x2)/(2)f″(0)+o(x2)
又由第一问：f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）
∴[f′(θ(x)x)−f′(0)]x＝(1)/(2)f″(0)+o(x2)
上式两边同时除以x²，再令x→0，得：

lim

x→0

(f′(θ(x)x)−f′(0))/(x)＝

lim

x→0

[(1)/(2)f″(0)+(o(x2))/(x)]
即：

lim

x→0

[(f′(θ(x)x)−f′(0))/(θ(x)x)•(θ(x)x)/(x)]＝f″(0)

lim

x→0

θ(x)=(1)/(2)f″(0)
∴

lim

x→0

θ(x)＝(1)/(2)