如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在AB上，AD=AC，BE⊥直线CD于E（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．

Question

如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在AB上，AD=AC，BE⊥直线CD于E

（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD=2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．

Answer 1

（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=22.5°；
（2）作AH⊥CD于H，如图：

∵BE⊥直线CD于E，AC=AD，
∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，
∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAH，
在△CBE与△ACH中，

∠BCE=∠CAH

∠BEC=∠AHC=90°

BC=AC

，
∴△CBE≌△ACH（AAS），
∴CH=BE，
即CD=2CH=2BE；
（3）如图，

过D作DH⊥BC于点H，
由（1）可知∠BCD=22.5°，
∵O是AB的中点，
∴∠BCO=45°，
∴∠DCO=∠BCO=22.5°，
∴DO=DH，
在Rt△COD和Rt△CHD中，

DO=DH

CD=CD

，
∴Rt△COD≌Rt△CHD，
∴CH=CO，
∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，
∴BH=(√(2))/(2)BD，
∴BC=CH+BH=CO+(√(2))/(2)BD．