如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2mx2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐

Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物 线y= 2 m x 2 -2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且 对称轴与x轴交于点C． （1）求点B的坐标 （用含m的代数式表 示）； （2）D为BO中点,直线AD交y轴于E,若 点E的坐标为（0,2）,求抛物线的解析 式； （3）在（2）的条件下,点M在直线BO 上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线 上,Q在直线 BC上,若以A、M、P、Q为 顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐 标．

Answer 1

（1）∵y=
2
m
x2-2x=
2
m
(x2-mx+
1
4
m2)-
2
m
•
1
4
m2=
2
m
(x-
1
2
m)2-
1
2
m,
∴抛物线的顶点B的坐标为(
1
2
m, -
1
2
m)．
（2）令
2
m
x2-2x=0,解得x1=0,x2=m．
∵抛物线y=
2
m
x2-2x与x轴负半轴交于点A,
∴A （m,0）,且m＜0．
过点D作DF⊥x轴于F,如右图；
由D为BO中点,DF∥BC,可得CF=FO=
1
2
CO．
∴DF=
1
2
BC．
由抛物线的对称性得 AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO,
∴△AFD∽△AOE．
∴
FD
OE
=
AF
AO
．
由E （0,2）,B(
1
2
m, -
1
2
m),得OE=2,DF=-
1
4
m．
∴
-
1
4
m
2
=
3
4
．
∴m=-6．
∴抛物线的解析式为y=-
1
3
x2-2x．
（3）依题意,得A（-6,0）、B （-3,3）、C （-3,0）．可得直线OB的解析式为y=-x,直线BC为x=-3．
作点C关于直线BO的对称点C′（0,3）,连接AC′交BO于M,则M即为所求．
由A（-6,0）,C′（0,3）,可得直线AC′的解析式为y=
1
2
x+3．
由
y=
1
2
x+3
y=-x
解得
x=-2
y=2.
∴点M的坐标为（-2,2）．
由点P在抛物线y=-
1
3
x2-2x上,设P （t,-
1
3
t2-2t）．
（ⅰ）当AM为所求平行四边形的一边时．
①如右图,过M作MG⊥x轴于G,过P1作P1H⊥BC于H,
则xG=xM=-2,xH=xB=-3．
由四边形AM P1Q1为平行四边形,可证△AMG≌△P1Q1H．
可得P1H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴P1(1, -
7
3
)．
②如右图,同①方法可得 P2H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴P2(-7, -
7
3
)．
（ⅱ）当AM为所求平行四边形的对角线时,如右图；
过M作MH⊥BC于H,过P3作P3G⊥x轴于G,则xH=xB=-3,xG=xP3=t．
由四边形AP3MQ3为平行四边形,可证△A P3G≌△MQ3H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴P3(-5,
5
3
)．
综上,点P的坐标为P1(1, -
7
3
)、P2(-7, -
7
3
)、P3(-5,
5
3
)．