在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，。（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2

Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN， 。
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长。

Answer 1

（1） 由AE=40，BC=30，AB=50， CP=24，
又sin∠EMP= CM=26；
（2） 在Rt△AEP与Rt△ABC中，
∵∠EAP=∠BAC，
∴ Rt△AEP∽Rt△ABC，
∴ ，
即 ，
∴EP= x，
又sin∠EMP= ，
∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x- x=50- x （0＜x＜32）；
（3）①当E在线段AC上时，由（2）知， ，即 ， x=EN，
又AM=AP-MP=x- x= x，
由题设△AME∽△ENB，
∴ ， ，
解得x=22=AP，
②当E在线段BC上时，
由题设△AME∽△ENB，
∴∠AEM=∠EBN，
由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
∴Rt△ACE∽Rt△EPM， ，
即 ， …①，
设AP=z，
∴PB=50-z，
由Rt△BEP∽Rt△BAC， ，
即 ， （50-z），
∴CE=BC-BE=30- （50-z）…②。
由①，②，解 =30- （50-z），得z=42=AP。