已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13．（1）求圆C的标准方程；（2）一条光线从点A（4，1）出发，经直线y

Question

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2√(3)，圆C的面积小于13．
（1）求圆C的标准方程；
（2）一条光线从点A（4，1）出发，经直线y=x-5反射后与圆C相切，求入射光线所在直线的斜率．

Answer 1

（I）设圆C：（x-a）²+y²=R²（a>0），
由题意知R=(|3a+7|)/(√(32+42))=√(a2+3)，解得a=1或a=(13)/(8)，
又∵S=πR²<13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4．    
（2）圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4，圆心坐标为C（1，0），半径为2．
设C关于直线y=x-5的对称点的坐标为（a，b），则

(b)/(a-1)•1=-1

(b)/(2)=(1+a)/(2)-5

，
∴a=5，b=-4，
∴圆C关于直线y=x-5的对称点的圆的标准方程为：（x-5）²+（y+4）²=4，
设入射光线所在直线的斜率为k，方程为y-1=k（x-4），即kx-y-4k+1=0，
圆心到直线的距离d=(|5k+4-4k+1|)/(√(k2+1))=2，∴k=(5±2√(22))/(3)．