如图，已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上

Question

如图，已知二次函数y=-x²+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．

（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1，(3)/(2)），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点B（1，2）在二次函数y=-x²+2mx的图象上，
∴-1²+2m=2
解得m=(3)/(2)．
故二次函数的解析式为y=-x²+3x；
（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y=-x²+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1，(3)/(2)），
∴PA²=(25)/(4)，PC²=(5)/(4)，AC²=5，
∴PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；
（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA=90°，
则①当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴(CB)/(PM)=(BP)/(ME)，
∴ME=(3)/(4)，
∴E₁（(7)/(4)，0）；
②当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴(CB)/(AO)=(BP)/(OE)，
∴OE=(3)/(2)，
∴E₂（0，-(3)/(2)）．
即点Q的坐标E₁（(7)/(4)，0）、E₂（0，-(3)/(2)）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形．