如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=(1)/(2)x+2与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-(3)/(2)且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线解析式．
（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

（1）①y=(1)/(2)当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-(3)/(2)对称，
∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax²+bx+c过A（-4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-(1)/(2)
∴y=-(1)/(2)x²-(3)/(2)x+2．
（2）设P（m，-(1)/(2)m²-(3)/(2)m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，(1)/(2)m+2），
∴PQ=-(1)/(2)m²-(3)/(2)m+2-（(1)/(2)m+2）
=-(1)/(2)m²-2m，
∵S_△PAC=(1)/(2)×PQ×4，
=2PQ=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（-2，3）．