抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，94），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．（1）求抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，

Question

抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（1，(9)/(4)），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．
（1）求抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；     
（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，求点M的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得

a+b＝(9)/(4)

−(b)/(2a)＝2

，
解得：

a＝−(3)/(4)

b＝3

．
则抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式y＝−(3)/(4)x2+3x，顶点D（2，3）．  
（2）设⊙M的半径为r．
由当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，分下列两种情况：
①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，
可得3²+（4-r-1）²=（r+1）²．
解得r＝(17)/(8)，
∴M((15)/(8)，0)．
②当⊙M和⊙N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，
可得3²+（r-1-2）²=（r-1）²．
解得r＝(17)/(4)，
∴M(−(1)/(4)，0)．
综合①、②可知，当⊙M和⊙N相切时，M((15)/(8)，0)或M(−(1)/(4)，0)．