如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，

Question

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，当沿切割线EF切割使剩余部分五边形ABCEF的面积最大时，AF的长度为（　　）米．

A．(1)/(12)
B．(1)/(6)
C．(5)/(12)
D．(3−√(3))/(3)

Answer 1

由条件易知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则p=0.5，易求得边缘线OM所在抛物线的方程为：x²=y…3分
要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为 （x₀，y₀）
则直线EF的方程为：y-y₀=2x₀（x-x₀），
由此可求得点F、E的坐标分别为（0，-x₀²），(((1)/(4)+x02)/(2x0)，(1)/(4))
梯形的面积为0.5-(1)/(2)×((1)/(4)+x0 2)×((1)/(4)+x02)/(2x0)=0.5-(1)/(64)×(16x04+8x02+1)/(x0)，x0∈(0，(1)/(2)]
令t=(16x04+8x02+1)/(x0)，x0∈(0，(1)/(2)]
则t′＝(48x04+8x02−1)/(x02)=(12(4x02+1)(x0+(√(3))/(6))(x0−(√(3))/(6)))/(x02)
显然函数t在 (0，(√(3))/(6))上是减函数，在 ((√(3))/(6)，(1)/(2))上是增函数，
∴当x0＝(√(3))/(6) 时，t取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．…12分
此时点E、F的坐标分别为((√(3))/(3)， (1)/(4))，(0，−(1)/(12))，
即沿直线EF画线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．…13分