求向量组α1＝（1,-1,1,3）,α2＝（-1,3,5,1）α3＝（-2,6,10,a）,α4＝（4,-1,6,10）的秩和一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

Question

求向量组α1＝（1,-1,1,3）,α2＝（-1,3,5,1）
α3＝（-2,6,10,a）,α4＝（4,-1,6,10）的秩和一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

Answer 1

(α1,α2,α4,α3)= 注:含未知量的向量放在最后便于计算
1 -1 4 -2
-1 3 -1 6
1 5 6 10
3 1 10 a
r2+r1,r3-r1,r4-3r1
1 -1 4 -2
0 2 3 4
0 6 2 12
0 4 -2 a+6
r3-3r2,r4-2r2
1 -1 4 -2
0 2 3 4
0 0 -7 0
0 0 -8 a-2
r3-r4
1 -1 4 -2
0 2 3 4
0 0 1 2-a
0 0 -8 a-2
r4+8r3
1 -1 4 -2
0 2 3 4
0 0 1 2-a
0 0 0 14-7a
当a≠2时,向量组的秩为4,其极大无关组即向量组本身
当a=2时,继续化行最简形
(α1,α2,α4,α3) --> ...-->
1 -1 4 -2
0 2 3 4
0 0 1 0
0 0 0 0
r1-4r3,r2-3r3
1 -1 0 -2
0 2 0 4
0 0 1 0
0 0 0 0
r2*(1/2),r1+r2
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 0
向量组的秩为3,α1,α2,α4 是一个极大无关组
α3 = 0α1+2α2+0α4.