设函数f（x）在[0，+∞]内连续，f（1）=52，且对所有x，t∈（0，+∞），满足条件∫xt1f（u）du=t∫x1f（u）du+x∫t1f（u）du，求f（x）．

Question

设函数f（x）在[0，+∞]内连续，f（1）=(5)/(2)，且对所有x，t∈（0，+∞），满足条件

∫

xt 1

f（u）du=t

∫

x 1

f（u）du+x

∫

t 1

f（u）du，求f（x）．

Answer 1

∵

∫

xt 1

f(u)du＝

t∫

x 1

f(u)du+

x∫

t 1

f(u)du
∴上式两边对x求导得：
tf(xt)＝tf(x)+

∫

t 1

f(u)du
又f(1)＝(5)/(2)
∴令x=1，得：tf(t)＝tf(1)+

∫

t 1

f(u)du，即tf(t)＝(5)/(2)t+

∫

t 1

f(u)du…①
①式对t求导得：f（t）+tf'（t）=(5)/(2)+f(t)
∴f′(t)＝(5)/(2t)…②
②式两边积分得：f（t）=(5)/(2)ln|t|+C
而t＞0，故：
f（t）=(5)/(2)lnt+C，C为任意常数
令t=1，得：C=(5)/(2)
∴f(t)＝(5)/(2)[lnt+1]
即：f(x)＝(5)/(2)[lnx+1]