关于高一函数的换元法已知f(x-1)=x²-2x,求f(x)老师给的解题过程：设t=x-1∵x∈R∴t∈R∴x=t+1∴f(t)=(t+1)²-2(t+1)∴f(t)=t²-1，t∈R∴f(x)=x²-1，x∈R=======================================有几个地方

Question

关于高一函数的换元法
已知f(x-1)=x²-2x,求f(x)
老师给的解题过程：
设t=x-1
∵x∈R
∴t∈R
∴x=t+1
∴f(t)=(t+1)²-2(t+1)
∴f(t)=t²-1，t∈R
∴f(x)=x²-1，x∈R
=======================================
有几个地方不是很理解：
1.为什么一定要加“∵x∈R∴t∈R”这步，才能得出“x=t+1”？
2.不应该是f(x)=(t+1)²-2(t+1)么？为什么变成了f(t)=(t+1)²-2(t+1)？
3.为什么x=t+1可以代入f(x-1)=x²-2x？
PS：刚接触高中函数，问题比较多。请大家指点，谢谢！

Answer 1

Hi~
我住校的~所以只有周末能上网^_^
首先问题1：为什么一定要加“∵x∈R∴t∈R”这步，才能得出“x=t+1”？
回答：因为函数由：“自变量”“对应法则（函数解析式）”和“应变量”组成
所以使用换元法两个自变量的定义域一定要一致，不然会改变函数代表的意思
例如：X∈(0,1)，那么用t+1代替x的时候，t必须∈(-1,0)，这样t+1的定义域才
能和X一样。所以老师给出的那步“∵x∈R∴t∈R∴x=t+1”不写应该是要扣分的
问题2：不应该是f(x)=(t+1)²-2(t+1)么？为什么变成了f(t)=(t+1)²-2(t+1)？
回答：这只是方便做题，不让你搞晕而已，你可以设x=x+1都没人算你错啦~^_^
问题3：为什么x=t+1可以代入f(x-1)=x²-2x？
回答：因为这个时候x=t+1已经满足原函数了，完整的表达是：f(x-1)=f(t+1-1)
=（t+1)²-2(t+1)=f(t) 所以f(t)=(t+1)²-2(t+1)
(两个1消掉了t+1-1=t~) 不要在意t和x,它们都只是字母，条件一致是可以互换的！
我再举个例子强化一下问题1的
已知f(x-1)=x²-2x,X∈(0,1) 求f(x)

设t=x-1
∵x∈（0,1）
∴t∈(-1,0)
∴x=t+1
∴f(t)=(t+1)²-2(t+1)
∴f(t)=t²-1，t∈（-1，0）
∴f(x)=x²-1，x∈（-1，0）
最后两步是重点，要记住函数的定义域是非常非常非常重要的。
f(x)=x,x∈R与f(x)=x,x∈（0,1）是完全不同的两个函数!
不知道这样解释可不可以，你最好还问问老师吧^_^口头说比较容易理解～