设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na

Question

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常数a∈ ((3)/(2) ， 3)），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C₁．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C₂．且两条曲线都经过点D(2，√(2))，求轨迹C₁与C₂的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距离不小于(2√(3))/(3)，求实数x₀的取值范围．

Answer 1

（1）β是方程的一个虚根，则

.

β

是方程的另一个虚根，（2分）
则β•

.

β

＝m＝|β|2＝4，所以m=4（2分）
（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|-|α-3|=2a，常数a∈ ((3)/(2) ， 3)），
轨迹C₁为双曲线，其方程为(x2)/(a2)−(y2)/(9−a2)＝1；（2分）
②当n为偶数时，|α+3|+|α-3|=4a，常数a∈ ((3)/(2) ， 3)），
轨迹C₂为椭圆，其方程为(x2)/(4a2)+(y2)/(4a2−9)＝1；（2分）
依题意得方程组

(4)/(4a2)+(2)/(4a2−9)＝1

(4)/(a2)−(2)/(9−a2)＝1

⇒

4a4−45a2+99＝0

a4−15a2+36＝0  

解得a²=3，
因为(3)/(2)＜a＜3，所以a＝√(3)，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：(x2)/(3)−(y2)/(6)＝1，(x2)/(12)+(y2)/(3)＝1．（2分）
方法2：依题意得

|β+3|+|β−3|＝4a

|β+3|−|β−3|＝2a

⇒

|β+3|＝3a

|β−3|＝a

（2分）
轨迹为C₁与C₂都经过点D(2，√(2))，且点D(2，√(2))对应的复数β＝2+√(2)i，
代入上式得a＝√(3)，（2分）
即|β+3|−|β−3|＝2√(3)对应的轨迹C₁是双曲线，方程为(x2)/(3)−(y2)/(6)＝1；
|β+3|+|β−3|＝4√(3)对应的轨迹C₂是椭圆，方程为(x2)/(12)+(y2)/(3)＝1．（2分）
（3）由（2）知，轨迹C₂：(x2)/(12)+(y2)/(3)＝1，设点A的坐标为（x，y），
则|AB|2＝(x−x0)2+y2＝(x−x0)2+3−(1)/(4)x2
=(3)/(4)x2−2x0x+

x

2 0

+3＝(3)/(4)(x−(4)/(3)x0)2+3−(1)/(3)

x

2 0

，
x∈[−2√(3)，2√(3)]（2分）
当0＜(4)/(3)x0≤2√(3)即0＜x0≤(3√(3))/(2)时，|AB|2min＝3−(1)/(3)

x

2 0

≥(4)/(3)⇒0＜x0≤√(5)
当(4)/(3)x0＞2√(3)即x0＞(3√(3))/(2)时，|AB|min＝|x0−2√(3)|≥(2√(3))/(3)⇒x0≥(8√(3))/(3)，（2分）
综上0＜x0≤√(5)或x0≥(8√(3))/(3)．（2分），