设函数y=f（x）对任意X∈R,都有f(x+1)=af(x)(a＞0）1.若函数y=f(x)的图像关于x=1对称,求证函数f(x)为偶函数2.若当x∈（0,1时,f(x)=2^x+2^-x,求f(x)在区间（n,n+1(n为正整数)上的解析式3是研究2中所

Question

设函数y=f（x）对任意X∈R,都有f(x+1)=af(x) (a＞0） 1.若函数y=f(x)的图像
关于x=1对称,求证函数f(x)为偶函数 2.若当x∈（0,1】时,f(x)=2^x+2^-x,求f(x)在区间（n,n+1】(n为正整数)上的解析式 3是研究2中所述函数f(x)在(0,正无穷）上是否可能是单调函数?若可能,指出a的取值范围,若不可能,请说明理由.

Answer 1

、
x∈(n,n 1]时,
f(x)=af(x-1)=a²f(x-2)=.=(a^n)*f(x-n)
x-n∈(0,1],则：f(x-n)=2^(x-n) 2^(n-x)
所以,f(x)在(n,n 1]上的解析式为：f(x)=(a^n)*[2^(x-n) 2^(n-x)]
2、
令2^(x-n)=t
x∈(n,n 1],则t∈(1,2]
f(x)=y=(a^n)(t 1/t)
g(t)=t 1/t是对勾（耐克）函数,在(1,2]上是单调增函数
又a>0,即a^n>0
所以,y=(a^n)(t 1/t)在t∈(1,2]是单调增函数
即：f(x)=(a^n)*[2^(x-n) 2^(n-x)]在(n,n 1]上是单调曾函数
则：x∈(n,n 1]时,f(x)∈（2a^n,(a^n)*(5/2)],
所以,要使f(x)在(0,∞)上是单调函数,也就是只能是单调增函数,
则必须满足：2a^(n 1)≧(a^n)*(5/2)
2a≧5/2
a≧5/4
所以,当a≧5/4时,（1）中的函数在(0,∞)上是单调函数.