设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a.b.c∈R)满足条件：①当x∈R时,其最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1).②当x∈(0,5)时,x≦f(x)≦2|x-1|+1恒成立.求最大的实数m（m﹥1）,使得存在t∈R,只要当t∈[1,m]时,就有f(x+t)≦x成立.

Question

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a.b.c∈R)满足条件：
①当x∈R时,其最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1).
②当x∈(0,5)时,x≦f(x) ≦2|x-1|+1恒成立.
求最大的实数m（m﹥1）,使得存在t∈R,只要当t∈[1,m]时,就有f(x+t) ≦x成立.

Answer 1

先说函数f(x)的求法:
根据条件①,最小值为0,那么有a>0,而f(x-1)=f(-x-1)即知对称轴为x=-1,f(-1)=0,由此列得两个方程:
(1)-b/(2a)=-1
(2)f(-1)=a-b+c=0
解之有b=2a,c=a,整理得f(x)=a(x+1)*(x+1)
再用条件②,令x=2|x-1|+1,得x=1,代入到x≦f(x) ≦2|x-1|+1中有1≦f(1) ≦1,那么f(1)=1,代入刚才得到的表达式中有1=4a,即a=1/4,这样就得到了f(x)的解析式为f(x)=(1/4)(x+1)*(x+1)
.
下面再求满足条件的最大实数m
但是你的题目有点问题,应该是写错了,如果t∈[1,m],那么不能恒成立,因为你令x=0会有f(t)≦0,这不可能在t∈[1,m]上恒成立
所以题目有点问题