设函数f（x）=lnx+mx，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）-x3零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，f(b)−f(a)b−a＜1恒成立，求m的

Question

设函数f（x）=lnx+(m)/(x)，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）-(x)/(3)零点的个数；
（3）（理科）若对任意b＞a＞0，(f(b)−f(a))/(b−a)＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=e时，f′(x)＝(x−e)/(x2)，x＞0，
解f′（x）＞0，得x＞e，
∴f（x）单调递增；
同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）只有极小值f（e），
且f（e）=lne+(e)/(e)=2，
∴f（x）的极小值为2．
（2）∵g（x）=f′(x)−(x)/(3)=(x−m)/(x2)−(x)/(3)=0，
∴m=x−(x3)/(3)，
令h（x）=x-(x3)/(3)，x＞0，m∈R，
则h（1）=(2)/(3)，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，(2)/(3)）；
同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，
∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（-∞，(2)/(3)）．
∴当m≤0，或m=(2)/(3)时，g（x）只有一个零点；
当0＜m＜(2)/(3)时，g（x）有2个零点；
当m＞(2)/(3)时，g（x）没有零点．
（3）（理）当b＞a＞0时，(f(b)−f(a))/(b−a)＜1，
即f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，
∵(x−m)/(x2)＜1，∴m＞x-x²，
∵当x＞0时，二次函数x-x²∈（-∞，(1)/(4)]，
∴m＞(1)/(4)．
∴当m∈（(1)/(4)，+∞）时，满足题意．