设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）≠0，f（a）=f（b）=0，试证：（1）∀x∈（a，b），有f（x）≠0；（2）∃ξ∈（a，b），使f′（ξ）=f（ξ）．

Question

设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）≠0，f（a）=f（b）=0，试证：
（1）∀x∈（a，b），有f（x）≠0；
（2）∃ξ∈（a，b），使f′（ξ）=f（ξ）．

Answer 1

证明：（1）假设存在点c∈（a，b），有f（c）=0，则
f（a）=f（b）=f（c）=0，
f（x）在[a，c]和[c，b]上满足罗尔定理，
因此，分别存在点ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），使得
f′（ξ₁）=f′（ξ₂）=0
而f（x）在[a，b]上二阶可导，因此
f′（x）在[ξ₁，ξ₂]上满足罗尔定理，得
存在点ξ₀∈（ξ₁，ξ₂），使得
f″（ξ₀）=0，这与f″（x）≠0矛盾
故）∀x∈（a，b），有f（x）≠0
（2）由题意，知f（x）在[a，b]上满足罗尔定理，
∴∃η∈（a，b），使得f′（η）=0
设F（x）=f（x）-f′（x），x∈（a，b），
则F（a）=-f′（a），F（b）=-f′（b），
由于f″（x）≠0，不妨设f″（x）>0
∴f′（x）在[a，b]上是单调递增的
∴f′（a）即f′（a）f′（b）<0
∴再次由f（x）在[a，b]上二阶可导，满足零点定理
∴∃ξ∈（a，b），使f′（ξ）=f（ξ）．