p为素数,f(x)≡0(modp)和f'(x)≡0(modp)无公共解时,同余方程f(x)≡0(modp^a)对于任意a>=1的解数相同.证明：当p为素数,f(x)≡0(modp)和f'(x)≡0(modp)无公共解时,同余方程f(x)≡0(modp^a)对于任意a>

Question

p为素数,f(x)≡0(mod p)和f'(x)≡0(mod p)无公共解时,同余方程f(x)≡0(mod p^a)对于任意a>=1的解数相同.
证明 ：当p为素数,f(x) ≡ 0 ( mod p) 和 f'(x)≡0(mod p) 无公共解时,同余方程f(x) ≡ 0 (mod p^a) 对于任意a>= 1的解数相同.卡住了..
f(x) 是整系数多项式

Answer 1

用欧拉判别准则即可
(-1,p) = (-1)^((p-1)/2) = (-1)^(2k+1) = -1
所以-1是p的二次非剩余
所以
x^2+1≡0(mod p)没有整数解
当然也可以仿照证明欧拉准则的方法来证明这个问题.