求一道导数题＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=(y△x)/(1+x^2)+a,且当△x→0时,a是△x的高阶无穷小,y(0)=∏,则y(1)=?我只能做

Question

求一道导数题＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=(y△x)/(1+x^2)+a,且当△x→0时,a是△x的高阶无穷小,y(0)=∏,则y(1)=?
我只能做到这一步!
由题意得lim(△x→0)△y/△x=lim(△x→0)y/(1+x^2)+a/△x
由于△x→0,a是△x的高阶无穷小所以lim(△x→0)△y/△x=y/(1+x^2)
由于y(0)=∏,则dy/dx│(x=0,y=∏)=∏.
由于f(x.+△x)=f(x.)+f'(x.)△x
所以y(1)=y(0+1)≈y(0)+y'(0)*1
y(1)≈2∏
一看答案就知道这样做是错的,答案是∏e^(∏/4),自己也知道这样解也不对,
因为另△x=1就知道要错了,│△x│不够小!关键是把步骤和解题思路写完整!
是不是涉及到积分了?我还没学到积分啊!就学到微分和微分的应用啊!这题是我做微分的作业时候遇到的!我还以为是我什么地方没学所以做不了!

Answer 1

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=(y△x)/(1+x^2)+a,且当△x→0时,a是△x的高阶无穷小,y(0)=∏,则y(1)=?
由题意,得:
dy=ydx/(1+x^2)
1/y dy=1/(1+x^2) dx
y=Ce^(arctan x)
y(0)=∏
∏=Ce^0
C=∏.
y(1)=∏e^(arctan 1)=∏e^(∏/4).
这里面涉及到微分方程的解问题,你可能是大一同学吧,做好自己看一看高等数学后面的内容..
另外,既然你已经做出来y(0)'=∏
那么为什么不继续下去.
y（0)''=(dy/dx)/dx=(y/(1+x^2))'=(y'y(1+x^2)-2xy)/(1+x^2)^2
y(0)''=∏^2……然后用泰勒级数展开.