已知y=f(x)=xlnx.(1)求函数y=f(x)的图像在x=e处的切线方程；（2）设实数a>0,求函数F(x)=f(x)/a在[a,2a]上的最大值.（3）证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立.给过程

Question

已知y=f(x)=xlnx.
(1)求函数y=f(x)的图像在x=e处的切线方程；
（2）设实数a>0,求函数F(x)=f(x)/a在[a,2a]上的最大值.
（3）证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立.
给过程

Answer 1

1、切线方程 x=e 点 y=f（e）=elne=e
斜率k=f'(x)=lne+e/e=2 y=f(x)=2（x-e)+e=2x-e
2、F(x)=f(x)/a=xlnx/a 求导 （lnx+1）/a a>0 所以倒数为增函数
x属于[a,2a]
（lna+1）/a (ln2a+1)/a
（lna+1）/a >0 a>1/e 导数大于0 F（x）为增 最大值为2ln（2a）
(ln2a+1)/a-2/e
令 g（x）= x（lnx-e^(-x)） 求导 的 lnx-e^(-x)+1+e^(-x)=lnx+1
当lnx+1>0 即 x>1/e g(x) 为增
当lnx+1