已知函数f（x）=x+alnx-1，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若2f（x）+lnxx≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2f（x）+(lnx)/(x)≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=x+alnx-1，
∴f′（x）=1+(a)/(x)=(x+a)/(x)，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，若f′（x）＞0，则x＞-a，若f′（x）＜0，则0＜x＜-a，
故此时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增；
（II）若2f（x）+(lnx)/(x)≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，
即2x+2alnx-2+(lnx)/(x)≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=2x+2alnx-2+(lnx)/(x)，x∈[1，+∞），
则g′（x）=2+(2a)/(x)+(1−lnx)/(x2)=(2x2+2ax+1−lnx)/(x2)，x∈[1，+∞）
当a≥0时，g′（x）＞0恒成立，此时g（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴g（x）≥g（1）=0恒成立，
当-(3)/(2)≤a＜0时，
设h（x）=2x²+2ax+1-lnx，x∈[1，+∞）
h′（x）=4x+2a-(1)/(x)＞0，
∴h（x）为增函数，
h（x）≥h（1）＞0
此时g（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴g（x）≥g（1）=0恒成立，
当a＜-(3)/(2)时，若x∈[1，−(2a+1)/(2)）时，2a+1＜-2x，
由（I）知，当a=-1时，f（x）=x-lnx-1≥f（1）=0，
∴lnx≤x-1，-lnx≤(1)/(x)-1，
此时h（x）＜0，
故g′（x）＜0，
此时g（x）在[1，−(2a+1)/(2)）上单调递减；
∴g（x）＜g（1）=0，为符合题意，
综上所述，a≥-(3)/(2)