对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=|x|；③f（x）=sin（

Question

对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x²+x+1； ②f（x）=

√(|x|)； ③f（x）=sin（x²）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数”的有（　　）

A. ②③

B. ③④

C. ②③④

D. ①②④

Answer 1

对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）²+（x+a）+1≤x²+x+1+b，
即2ax≤-a²-a+b，即x≤(-a2-a+b)/(2a)对一切x∈R均成立，
由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x²+x+1不是“控制增长函数”；
对于②，若f（x）=√(|x|)是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：√(|x+a|)≤√(|x|)+b，
∴|x+a|≤|x|+b²+2b√(|x|)恒成立，又|x+a|≤|x|+a，
∴|x|+a≤|x|+b²+2b√(|x|)，∴√(|x|)≥(a-b2)/(2b)，显然当a<b²时式子恒成立，
∴f（x）=√(|x|)是“控制增长函数”；
对于③，∵-1≤f（x）=sin（x²）≤1，∴f（x+a）-f（x）≤2，
∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x²）是“控制增长函数”；
对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，
∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，
∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”．
故选C．