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设F（x）=∫x+2πxesintsintdt，则F（x）（）A．为正数B．为负数C．恒为零D．不为常数
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设F（x）=
esintsintdt，则F（x）（ ）
A．为正数
B．为负数
C．恒为零
D．不为常数
| ∫ | x+2π x |
A．为正数
B．为负数
C．恒为零
D．不为常数
▼优质解答
答案和解析
由于esintsint 函数是周期为2π的周期函数，根据周期函数的积分性质：
esintsintdt=
esintsintdt
=
−esintdcost=-（esintcost
−
esintcos2tdt）（分部积分法）
=
cos2t•esintdt；
由于：cos2t•esint在区间（0，2π）上恒大于等于0，且不恒等于0，有积分函数的保号性可知：
cos2t•esintdt＞0．
所以：F（x）＞0．（由于函数积分上下限为常量，故积分值为常数，D选项不对）
故选：A．
| ∫ | x+2π x |
| ∫ | 2π 0 |
=
| ∫ | 2π 0 |
| | | 2π 0 |
| ∫ | 2π 0 |
=
| ∫ | 2π 0 |
由于：cos2t•esint在区间（0，2π）上恒大于等于0，且不恒等于0，有积分函数的保号性可知：
| ∫ | 2π 0 |
所以：F（x）＞0．（由于函数积分上下限为常量，故积分值为常数，D选项不对）
故选：A．
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