已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[-1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x>0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A.（π12，5π12）B.（π6，π4）C.（π4，3π4）D.（π6，5π6）

Question

已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[-1，0]．不等式x²cosθ+（x+1）²sinθ+x²+x>0恒成立，则实数θ的取值范围是（　　）

A. （

(π)/(12)，(5π)/(12)）

B. （

(π)/(6)，(π)/(4)）

C. （

(π)/(4)，(3π)/(4)）

D. （

(π)/(6)，(5π)/(6)）

Answer 1

设f（x）=x²cosθ+（x+1）²sinθ+x²+x=（1+sinθ+cosθ）x²+（2sinθ+1）x+sinθ，
∵θ∈[0，π），
∴1+cosθ+sinθ≠0，且其对称轴为x=-(2sinθ+1)/(2(1+sinθ+cosθ))
∵f（x）在[-1，0]的最小值为f（0）或f（1）或f（-(2sinθ+1)/(2(1+sinθ+cosθ))）
∴

f(-1)>0

f(0)>0

f(-(2sinθ+1)/(2(1+sinθ+cosθ)))>0

，
即

cosθ>0

sinθ>0

sin2θ>(1)/(2)

∴

0<θ<(π)/(2)

0<θ<π

(π)/(12)<θ<(5π)/(12)

∴(π)/(12)<θ<(5π)/(12)．
故选：A