设数集S符合下面两个条件:①1不属于S②若a∈S,则1/(1-a)∈S求证：a∈S,则1-1/a∈S若2∈S,则S中必含有其他两个集S能不能是单元素数集,若能,求S,不能,请证明.

Question

设数集S符合下面两个条件:①1不属于S②若a∈S,则1/(1-a)∈S 求证：a∈S,则1-1/a∈S
若2∈S,则S中必含有其他两个集
S能不能是单元素数集,若能,求S,不能,请证明.

Answer 1

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由题设可知,
若a∈S,则必有1/(1-a)∈S,
∴此时必有1/(1-t)∈S,(这里,t=1/(1-a))
把t=1/(1-a)代入1/(1-t)
可知:1/(1-t)=1-(1/a)
∴1-(1/a)∈S
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令a=2,代入上面的两个式子,
1/(1-a)=-1
1-(1/a)=1/2
∴-1和1/2均是集合S的元素,
∴集合S必含有其他两个元素
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反证法
假设集合S是单元集,
必有a=1/(1-a),
整理可得a²-a+1=0
易知,该方程无实数解,
∴集合不可能是单元集.