y=ax2+bx+c顶点为(2,4)(1)用含a式子表示b,c(2)若y=kx+4(k不等于0）与y轴及该抛物线交点依次为DEF,且S三角形ODE：S三角形OEF=1：3,O为原点,用含a式子表示k（3）在（2）的条件下,若EF长m满足3倍根号2

Question

y=ax2+bx+c顶点为(2,4) (1)用含a式子表示b,c(2)若y=kx+4(k不等于0）与y轴及该抛物线交点依次为D E F,
且S三角形ODE：S三角形OEF=1：3,O为原点,用含a式子表示k（3）在（2）的条件下,若EF长m满足3倍根号2<=m<=3倍根号5,确定a的范围

Answer 1

一设y=a（x-2）²+4（a≠0）,
y=ax²－4ax+4a+4．
∴b=-4a,c=4a+4；
二设E（x1,y1）,F（x2,y2）,
y=kx+4,y=ax²-4ax+4a+4→ax²-（4a+k）x+4a=0
∴x1+x2=4a+k／a,x1•x2=4
又∵S△ODE／S△OEF=1／3,∴S△ODE／S△ODF=1／4,
∴DE／DF=1／4,∴|x1／x2|=1／4,|x2|=4|x1|,
可知x1与x2同号,
∴x2=4x1,
x1=1,x2=4；x1=-1,x2=-4,
4a+k／a=±5,
∴k=a或k=-9a,
△＞0成立,
∴k=a或k=-9a；
三∵m²=（x2-x1）²+（y2-y1）²,
（x2-x1）²=9,
y1=kx1+4,y2=kx2+4,→（y2-y1）²=k²（x2-x1）²=9k²,
∴m²=9（1+k²）,→m=3√1+k²,
∵3√2≤m≤3√5,
∴√2≤√1+k²≤√5,1≤k²≤4,
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1,
当k=a时,有1≤a≤2或-2≤a≤-1,
当k=-9a时,有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
综上-2／9≤a≤-1／9或1／9≤a≤2／9．