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凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（）A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形
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凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．等腰梯形
D．矩形
A．正方形
B．菱形
C．等腰梯形
D．矩形
▼优质解答
答案和解析
解；以A点的角度看，S=AB•AD•AC…①
以B点的角度看，S=BA•BD•BC…②
以C点的角度看，S=CA•CB•CD…③
以D点的角度看，S=DA•DB•DC…④
由②、④得AB•BC=AD•CD…（1）
由①、③得BC•CD=AB•AD…（2）
由（1）÷（2）得，
=
，
∴CD2=AB2，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
以B点的角度看，S=BA•BD•BC…②
以C点的角度看，S=CA•CB•CD…③
以D点的角度看，S=DA•DB•DC…④
由②、④得AB•BC=AD•CD…（1）
由①、③得BC•CD=AB•AD…（2）
由（1）÷（2）得，
| AB |
| CD |
| CD |
| AB |
∴CD2=AB2，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
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