设集合M={a|a=x^2-y^2,x,y∈z}求证：（1）一切奇数属于集合M（2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合M（3）属于M的两个整数,其乘积仍属于M

Question

设集合M={a|a=x^2-y^2,x,y∈z}求证：
（1）一切奇数属于集合M
（2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合M
（3）属于M的两个整数,其乘积仍属于M

Answer 1

1
奇数=2k+1=(k+1+k)(k+1-1)=(k+1)^2-k^2,所以属于M
2
偶数=(x+y)(x-y),那么(x+y)与(x-y)必有一个为偶数,而且(x+y),(x-y)中只要有一个是偶数,另一个也是偶数,那么这个数就必须是4的倍数,与4k-2不同
3
由上面两条得出M中的数要么是奇数,要么是4的倍数
所以这些数任意两个的乘积也要么是奇数,要么是4的倍数
所以就是属于集合M的