如图,AB,BC,CD分别于圆O相切于E,F,G,且AB平行于CD,OB于EF相交于M,OC与FG相交于N如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN．（1）求证：OB⊥OC；

Question

如图,AB,BC,CD分别于圆O相切于E,F,G,且AB平行于CD,OB于EF相交于M,OC与FG相交于N如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN． （1）求证：OB⊥OC； （2）若OB=6，OC=8，求MN的长．

Answer 1

1、 连接OE、OF、OG ∵AB,BC,CD分别与圆O切于点E,F,G, ∴BE=BF，CG=CF ∵OE=OF，OF=OG OB=OB，OC=OC ∴△BOE≌△BOF，△COF≌△COG ∴∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO ∵AB∥CD ∴∠ABC+∠DCB=180° ∴1/2(∠ABC+∠DCB)=90° 即∠FBO+∠FCO=90° ∴∠BOC=90° ∴BO⊥OC 2、 ∵MN‖OB ∴∠NMO=∠MOB=∠BOC=90° ∴MN是圆O的切线 ∵∠BOC=90° ∴BC=√（36+64）=10. ∵△OBF∽△CBO ∵OF×BC=OB×OC ∴半径OF=48/10=4.8 ∵∠FCO=∠NCM,∠OFC=∠NMC ∴△CMN∽△COF ∵NM,NG均是圆O的切线 ∴NM=NG 设NM=NG=X,由△CMN∽△COF得MN:OF=CN:CF 又CG=CF=√（OC²-OF²）=6.4 ∴CN=6.4+X 故:X:4.8=(6.4+X):6.4 得MN=X=19.2