已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=2，过原点O作圆C的切线OA、OB，切点依次记为A、B，过原点O引直线l交圆C与D、E两点，交AB与F点．（1）求直线AB的直线方程．（2）求OD+OE的最大值．

Question

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，过原点O作圆C的切线OA、OB，切点依次记为A、B，过原点O引直线l交圆C与D、E两点，交AB与F点．
（1）求直线AB的直线方程．
（2）求OD+OE的最大值．

Answer 1

（1）由题意，O，A，C，B四点共圆，
因为圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，圆心坐标为（2，2），半径为√(2)
所以O，A，C，B四点所在圆的圆心坐标为（1，1），圆的半径为√(2)
所以O，A，C，B四点所在圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
因为圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴两圆相减，可得公共弦，即直线AB的方程为x+y-3=0；
（2）设直线l：y=kx，代入圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，消去y可得（1+k²）x²-（4+4k）x+6=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则OD+OE=√(1+k2)（x₁+x₂）=4√(1+(2k)/(1+k2))≤4√(2)
∴OD+OE的最大值为4√(2)．