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过原点O作圆C:x2+y2+6x=0的弦OA.(1)求弦OA中点M的轨迹方程.(2)延长OA到N,使|OA|=|AN|,求N点的轨迹方程.

题目详情
过原点O作圆C:x2+y2+6x=0的弦OA.
(1)求弦OA中点M的轨迹方程.
(2)延长OA到N,使|OA|=|AN|,求N点的轨迹方程.
▼优质解答
答案和解析
(1)圆C:x2+y2+6x=0 即(x+3)2+y2=9,表示以点C(-3,0)为圆心、半径等于3的圆.
由题意可得 CM⊥OA,可得点M在以线段OC为直径的圆上.
再根据|OC|=3,可得圆M的方程为(x+
3
2
)2+y2=
9
4

(2)设圆和x轴的负半轴交于点D(-6,0),由于A为线段ON的中点,C为线段OD的中点,
∴AC是△OND的中位线,AC∥
1
2
ND,且AC=
1
2
ND.
∴|ND|=2|AC|=6,故点N在以D为圆心、半径等于6的圆上,
故点N的轨迹方程为 (x+6)2+y2=36.
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