过原点O作圆C：x2+y2+6x=0的弦OA．（1）求弦OA中点M的轨迹方程．（2）延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程．

Question

过原点O作圆C：x²+y²+6x=0的弦OA．
（1）求弦OA中点M的轨迹方程．
（2）延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程．

Answer 1

（1）圆C：x²+y²+6x=0 即（x+3）²+y²=9，表示以点C（-3，0）为圆心、半径等于3的圆．
由题意可得 CM⊥OA，可得点M在以线段OC为直径的圆上．
再根据|OC|=3，可得圆M的方程为(x+(3)/(2))2+y²=(9)/(4)．
（2）设圆和x轴的负半轴交于点D（-6，0），由于A为线段ON的中点，C为线段OD的中点，
∴AC是△OND的中位线，AC∥(1)/(2)ND，且AC=(1)/(2)ND．
∴|ND|=2|AC|=6，故点N在以D为圆心、半径等于6的圆上，
故点N的轨迹方程为 （x+6）²+y²=36．