在三角形ABC中,角B与角C的角平分线相交于点P,过点P,过点B作BF//PC交AC的延长线于点F,过点C作CE//BP交AB的延长线于点E1求证BE=CF2若点P只是角A平分线上的任意一点,第1题的结论是否仍然成立?请说

Question

在三角形ABC中,角B与角C的角平分线相交于点P,过点P,过点B作BF//PC交AC的延长线于点F,过点C作CE//BP交AB的延长线于点E
1 求证BE=CF
2 若点P只是角A平分线上的任意一点,第1题的结论是否仍然成立?请说明理由.

Answer 1

(1)根据角平分线和平行的性质,可以得BE=BC=CF
(2)仍然成立,
为陈述方便,设角ABP PBC = B1 B2,角ACP PCB = C1 C2
根据正弦定理和平行关系
BE/Sin B2= BC/SinB1
CF/Sin C2= BC/SinC1
因此需要证明 SinB2 Sin C1 = SinC2 SinB1
PBC中 Sin B2 :SinC2=PC:PB
PAB PAC中 PB/Sin(A/2)=PA/SinB1 PC/Sin(A/2)=PA/SinC1
则PB SinB1 = PC sinC1 = PA Sin(A/2)
PC:PB = Sin B1:SinC1
Sin B2 :SinC2= Sin B1:SinC1
则SinB2 Sin C1 = SinC2 SinB1得证