对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．（1）

Question

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设函数f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切t∈R恒成立，求实数t的取值范围．
（3）若函数g（x）=mx+√(x2+2x+n)是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．

Answer 1

（1）当x∈[1，3]时，f（x）=x-1+3-x=2，
当x∉[1，3]时，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，
所以函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2，
所以|t-1|+|t-2|≤2，
解得：(1)/(2)≤t≤(5)/(2)；
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+√(x2+2x+n)=c，即√(x2+2x+n)=c-mx，
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，
所以

m2＝1

−2cm＝2

c2＝n

，所以

m＝1

c＝−1

n＝1

或

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

1）对于函数f（x）=|x-1|+|x-3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f₁（x）≥2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；
（2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，等价于|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，等价于|t-1|+|t-2|≤2，从而可求实数t的取值范围；
（3）函数g（x）=mx+√(x2+2x+n)是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，等价于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数即可解决问题．

名师点评

本题考点：

函数恒成立问题．

考点点评：

本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是利用恒成立结论等式，从而可得参数的值，属于难题．

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