求证几个函数对称定理!50待加.1.函数f(x)定义域为R.求证y=f(x-m)与y=f(m-x)关于直线x=m对称·2.f(a+x)=f(b-x).任意x有y=f(x)关于直线x=(a+b)/2对称.3.函数f(x)关于直线x=m及x=n对称.则f(x)为周期函数.且最小正

Question

求证几个函数对称定理!50待加.
1.函数f(x)定义域为R.求证y=f(x-m)与y=f(m-x)关于直线x=m对称·
2.f(a+x)=f(b-x).任意x有y=f(x)关于直线x=(a+b)/2对称.
3.函数f(x)关于直线x=m及x=n对称.则f(x)为周期函数.且最小正周期为|m-n|.
4.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称.

Answer 1

1、设f1(x)=y1=f(x-m),f2(x)=y2=f(m-x),欲证他们关于直线x=m对称,即证明f1(m-x)=f2(m+x)成立即可；而
f1(m-x)=f[(m-x)-m]=f(-x);
f2(m+x)=f[m-(m+x)]=f(-x);
则结论成立.
2、欲证y=f(x)关于直线x=(a+b)/2对称,即证明f[(a+b)/2-x]=f[(a+b)/2+x]成立；而
f[(a+b)/2-x]=f{b-[x+(b-a)/2]};
f[(a+b)/2+x]=f{a+[x+(b-a)/2]};
右边相等,则结论成立.
3、.函数f(x)关于直线x=m及x=n对称,那么有f(m-x)=f(m+x),f(n-x)=f(n+x);
则f(m-n+x)=f[m-(-n+x)]=f(m+n-x)=f[n-(m-x)]=f(n-m+x);则有f(x)=f[x+2(m-n)],即|2（m-n）|是f(x)的周期；
4、设f1(x)=y1=f(a+x),f2(x)=y2=f(b-x),欲证他们关于直线x=(b-a)/2对称,即证明f1[(b-a)/2-x]=f2[(b-a)/2+x]成立即可；而
f1[(b-a)/2-x]=f[(a+b)/2-x];
f2[(b-a)/2+x]=f[(a+b)/2-x];
两式相等,则结论成立.