对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函

Question

对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x²都不是“T同比不减函数”；
（2）若函数f（x）=kx+sinx是“(π)/(2)同比不减函数”，求k的取值范围；
（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x-1|-|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²，
∴f（x+T）-f（x）=（x+T）²-x²=2xT+T²=T（2x+T），
由于2x+T与0的小无法比较，
∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，
∴对任意正常数T，f（x）=x²都不是“T同比不减函数，
（2）∵函数f（x）=kx+sinx是“(π)/(2)同比不减函数，
∴f（x+(π)/(2)）-f（x）=k（x+(π)/(2)）+sin（x+(π)/(2)）-kx-sinx=(kπ)/(2)+cosx-sinx=(kπ)/(2)-√(2)sin（x-(π)/(4)）≥0恒成立，
∴k≥(2√(2))/(π)sin（x-(π)/(4)），
∵-1≤sin（x-(π)/(4)）≤1，
∴k≥(2√(2))/(π)，
（3）f（x）=x+|x-1|-|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，
∴T≥4．