已知函数f(x)=x^2/(x^2−x+1),请证明：{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}

Question

已知函数f(x)=x ^2/( x^ 2 −x+1) ,请证明：{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}

Answer 1

f(x)=x 的解 x ^2/( x^ 2 −x+1)=x
得 x=0 或 x= x^ 2 −x+1 解得x=0或1
{x|f(x)=x}={0,1}
f(f(x))=[x ^2/( x^ 2 −x+1)]^2/{[x ^2/( x^ 2 −x+1)]^2-[x ^2/( x^ 2 −x+1)]+1}
=x^4/[x^4-x^2( x^ 2 −x+1)+( x^ 2 −x+1)^2]=x^4/[x^4-x^3+2x^2-2x+1]
f(f(x))=x 得 x=0 或 x^4-2x^3+2x^2-2x+1=0
x^4-2x^3+2x^2-2x+1 =(x-1)²(x²+1)=0
f(f(x))=x 的解也是x=0或x=1
{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}={0,1}