如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE=CN+EN．

Question

如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE=CN+EN．

Answer 1

证明：延长CN至F，使CF=AE，连接BF，
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，
∵CN⊥AE，
∴∠COE=90°，
∴∠CEA+∠1=90°，∠CEA+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△CAE和△BCF中

AC=CB

∠1=∠2

AE=CF

∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF，
∵∠CBA=45°，
∴∠FBN=45°=∠EBN，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=BF，
在△EBN和△FBN中

BE=BF

∠EBN=∠FBN

BN=BN

∴△EBN≌△FBN（SAS），
∴NE=NF，
∴AE=CN+EN．