（2006•北京模拟）设f（x）=1+x2xarctanx1x≠0，x＝0，将f（x）展开成x的幂级数，并求级数∞n＝1(−1)n1−4n2的和．

Question

（2006•北京模拟）设f（x）=

(1+x2)/(x)arctanx

1

x≠0，

x＝0，

将f（x）展开成x的幂级数，并求级数

∞

n＝1

((−1)n)/(1−4n2)的和．

Answer 1

由：(arctanx)′＝(1)/(1+x2)＝

∞

n＝0

(−1)nx2n，|x|＜1，①
①式两边同时积分得：
arctan(x)＝

∫

x 0

(arctan(t))′dt＝

∞

n＝0

(−1)n

∫

x 0

t2ndt＝

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n+1，x∈（-1，1），②
利用莱布尼兹交错级数判定定理，容易得②式右端级数在x=±1时是收敛的，
而又由于：arctanx在x=±1是连续的，
所以：arctan（x）的展开式在端点x=±1成立，
即：∀x∈[-1，1]，②式成立．
将②式两边同乘以(1+x2)/(x)得：
(1+x2)/(x)arctanx＝(1+x2)

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n=

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n+

∞

n＝0

((−1)nx2n+2)/(2n+1)
=

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n+

∞

n＝1

((−1)n−1)/(2n−1)x2n=1+

∞

作业帮用户 2017-10-06

问题解析

arctan（x）不是很容易展开成幂级数，转而求解（arctan（x））′的幂级数展开，再积分得出arctan（x）的展开式最后求得函数f（x）的幂级数展开．

名师点评

本题考点：

间接法将函数展开成幂级数；调和级数．

考点点评：

本题主要考查了复合函数的幂级数展开，展开的方法一般都是根据现有已知的幂级数形式得出结论，必须熟记常用函数的幂级数展开．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议